הֻלֶּדֶת הָאֶפֶס

"תרבויות שִׁנְּסוּ מותניים כנגדו ופילוסופיות קרסו תחת השפעתו, משום שהאפס שונה מכל המספרים האחרים. הוא מאפשר הצצה במשהו שכלל לא ניתן להעלות על הדעת, באינסוף."   אפס - ביוגרפיה של רעיון מסוכן צ'רלס זייף

תפיסת העולם של תרבות יוון העתיקה שעוצבה על ידי פיתגורס, אריסטו, תלמי, שרדה שנים רבות לאחר נפילות האימפריה היוונית. בתמונת עולם זו לא היה מקום לריק, לאינסוף - לאפס.

היעדר האפס במתמטיקה שנוצרה ברוח הפילוסופיה היוונית העתיקה עיכבה במערב - לדעת החוקרים - במשך קרוב לאלפיים שנה את התפתחות המדע, המתמטיקה וההתחדשות.

באפס גלומים שלושה מושגים שונים. האפס משמש בשיטת המִסְפּוּר המקומית סימן למקום ריק, האפס יכול להיות מושג מספרי מופשט המייצג את הריק או את הגודל החסר ובמבט אחר, האפס הוא מספר שלוקח חלק כמו כל שאר המספרים - בפעולה מתמטית.

יצירת מושג האפס מתפקידו כ'תופס מקום ריק' עד הפיכתו למספר עצמאי בעל תכונות מתעתעות ומחרידות עברה טלטלות תפיסתיות, דתיות ופילוסופיות רבות.

החקלאי ומְגַדֵּל הצאן הקדומים לא היו זקוקים לאפס כי הם לא נדרשו לספור או לזכור אפס שטחי אדמה מעובדים או אפס עזים או כבשים.

עם ראשית הופעתו, האפס היה תופס מקום ריק, מֵעֵין סימן פיסוק לפיענוח מדויק של המִסְפָּר. סביר להניח ששיטה של מערכת מספרים מיקומית - עימוד לפי יחידות, עשרות, מאות - חייבת להשתמש באפס, כתופס מקום ריק.

ההיסטוריה העתיקה מלמדת שאין הדבר כך. הבבלים ניהלו חישובים מתמטיים, בעזרת מערכת מספרים מיקומית - על בסיס 60 - במשך 1000 שנים מבלי להזדקק לאפס כתופס מקום.

בני בבל למדו להבין ולהעריך את המִסְפָּר לפי התוכן הכתוב. רק לקראת שנת 400 לפנה"ס הם התחילו לסמן שתי יתדות כאפס תופס מקום. אך גם לאחר קבלת האפס כתופס מקום ריק הוא הופיע רק בתוך המספר ואף פעם לא בסופו.

הבבלים המשיכו להעריך את גודל המספרים לפי התוכן הכתוב.

האפס אינו 'תופס מקום', הוא מספר בעל זכויות שוות לשאר המספרים. מקומו לא נמצא לאחר הספרה 9 - כפי שהוא מופיע על לוח המקשים של המדפסת או על טבלת החיוג של הטלפונים - כי אם לפני הספרה 1. בסדרת המספרים האפס הוא מספר זוגי, שמקומו בין -1 ל+1.

המתמטיקה היוונית הקדומה הייתה בנויה על הגיאומטריה ולכן לא היה בה מקום למספרים שליליים. כאשר בחישוביהם הם קיבלו תוצאות שליליות הם סברו שלתשובה אין כל משמעות. במונחים גיאומטריים החסרת שטח של 8 דונם משטח של 4 דונם היא חסרת כל היגיון.

המתמטיקה ההודית התנערה מהמשמעות הגיאומטרית של המספרים. למתמטיקאים ההודים לא הייתה כל הסתייגות ממספרים שליליים ולכן הם היו הראשונים שגילו את האפס כמספר בעל זכויות שוות לשאר המספרים.

הראשון שהתחיל להתייחס לאפס כמספר הוא המתמטיקאי ההודי בן המאה השביעית ברַהַמַהגוּפטָה. הוא קבע כללים לחילוק מספרים זה בזה: 'חיובי המחולק בחיובי או שלילי המחולק בשלילי הוא חיובי, חיובי המחולק בשלילי הוא שלילי, שלילי המחולק בחיובי הוא שלילי' וכמו ש 2 - 3 הוא מספר כך גם 2 - 2 הוא מספר.

למרות הפיכתו למספר פעיל בחישובים, האפס, גם אצל ההודים, נתפס כמוזר למדי. אפס המוכפל בכל מספר אחר כאילו בולע אותו וכשמחלקים בו 'כל השדים פורצים החוצה'. ברהמהגופטה שגה בניסיונו לתמרן את האפס. 'אפס המחולק באפס שווה לא כלום' הוא כתב. הטעות תוקנה במאה ה-12 על ידי המתמטיקאי ההודי באשקארה. 'שֶׁבֶר שבו המכנה הוא אפס מכונה כמות אינסופית'.

במאה התשיעית פרסם המתמטיקאי Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi  את עבודתו החשובה ביותר Hisab al-jabr w'al-muqabala -  שממנה נגזרה המילה אלגברה - שמתארת את הענף המתמטי של האלגברה.

הוא מסביר בכתביו את השיטה העשרונית, הספרות ההודו-ערביות ואת מושג האפס.

רבי אברהם בן מאיר אבן עזרא, מההוגים היהודים הגדולים של ימי הביניים פרסם בחיבורו בשפה העברית 'סֵפֶר הַמִּספַּר' את השיטה העשרונית ההודית ואת השימוש בה. במקום הסְפָרוֹת ההודיות אבן עזרא השתמש באותיות העבריות א' עד ט' ואת האפס שהוא כינה "הגלגל' סִמֵּן בעיגול.

השיטה העשרונית והאפס הובאו למערב אירופה על ידי פִּיבּוֹנָאצִ'י מתמטיקאי איטלקי בספרו  'ספר החשבונייה' שראה אור בשנת 1202.

These are the nine figures of the Indians: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with this sign 0 which in Arabic is called zephirum, any number can be written

האפס עדיין אינו מִסְפָּר כי אם - כפי שפיבונאצ'י מכנה אותו - 'סימן'.

במורשת המתמטית הגדולה של דֵּקַרְט 'מערכת הצירים הקרטזית' שנמצאת בשימוש גם היום, לא ניתן היה להתעלם מהאפס.

באירופה של דקרט, המספרים הערבים היו כבר נחלת הכְּלָל ובמרכז מערכת הצירים המאונכים בנקודת החיתוך של הצירים נמצא האפס.

במאה ה-17 פותח על ידי המתמטיקאים לֵיְבְּנִיץ וּנְיוּטוֹן החשבון האינפיניטסימלי שבמרכזו האפס וההופכי לו - האינסוף.

החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עוד ירד אל העם ונכלל בתוכנית הלימודים של בתי הספר. ההישגים הבאים של המתמטיקה - ואִתָּם ההתמודדות עם הריק והאינסוף - עלו לְמִגְדַּל השן של המומחים למספרים. גם אם לא התיידדנו, למדנו לחיות עם האפס.

הריק והאינסוף - שלא ניתנים להמחשה - עדיין מעוררים בנו תחושת פליאה ואי-נוחות. בעיית האפס שטרם נפתרה היא היעדר שנת האפס מלוחות השנה. כל לוחות השנה, פרט לזה של המאיה, נוצרו ללא שנת אפס וגורמים לנו למבוכה ולבלבול בספירת הזמן החולף.

* * *

--למידה וליקויי למידה-------לעמוד הראשי-------ד"ר אילנה מודלינגר-